Die epsilon Funktion¶
Wir konstruieren eine neue Menge $$H=\mathbb{R}\cup \{\epsilon\}$$ und definieren darauf zwei Verknüpfungen $$+, \cdot \text{ mit } \epsilon^2=0, \epsilon\neq 0 $$
Nun wollen wir die Eigenschaften von $(H, +, \cdot) $ herausfinden
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import matplotlib.cbook as cbook
import random as random
# für widgets zum interagieren
from __future__ import print_function
from ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual
import ipywidgets as widgets
class Epsilon:
def __init__(self,a,b):
self.re = a
self.ep = b
def __add__ (self, other):
return Epsilon(self.re*other.re,self.ep+other.ep)
def __mul__ (self, other):
# distributivgesetz
return Epsilon(self.re*other.re,self.re*other.ep+self.ep*other.re)
def __abs__ (self):
return np.hypot(self.re,self.ep)
def __pow__ (self, other):
# e^x = Summe von x^n/n! für n = 0,1,...
# e^(a+bε) = e^a * e^(bε)
# e^(b*ε) = (e^ε)^b
# e^ε = 1/0! + ε/1! + 0/3! + 0/4! + ...
# = 1+ε
# => x in IR, x^(a+bε) = e^ln(x)*(a+bε) = e^(ln(x)*a) * (1+ε)^(ln(x)*b)
# (a+bε)^x = e^(ln(a+bε)*x)
# ln(a+bε) = c+dε <=> e^(c+dε) = a+bε
# <=> e^c * d(1+ε) = a+bε
# <=> e^c*d + e^c*dε = a+bε
# => ln(a+bε) existier <=> a=b = e^c*d, c,d in IR
if other == 0:
return Epsilon(0,0)
if type(other) is int and other > 0:
return np.prod([self for i in range(other)])
raise ValueError('bisher nur für IN_0 Exponenten implementiert')
def __repr__ (self):
return str(self.re)+" + "+str(self.ep)+"ε"
Epsilon(1,1)
Epsilon(1,1)+Epsilon(2,3)
Epsilon(1,0)*Epsilon(0,0)
(Epsilon(1,2).re, Epsilon(1,2).ep)
Multiplikativer Effekt¶
def gitterplot(a, x=-5, y=-5, w=10, h=10):
# Erstelle ein Gitter (Grid) aus Epsilonzahlen
xn = np.linspace(x,w,30)
yn = np.linspace(y,h,10)
grid = np.array([[Epsilon(x,y) for y in yn] for x in xn])
print("a = " + str(a))
fig, ax = plt.subplots()
#ax.scatter(x, y, s, c, marker=verts)
for p in grid.flatten():
v = a*p
ax.scatter(v.re, v.ep, c='#4545d6' if abs(p.re)<1/4 or abs(p.ep)<1/4 else '#383838')
plt.grid(True)
plt.show()
@interact(re=0.5, ep=0.5)
def f(re,ep):
gitterplot(Epsilon(re,ep))
Da der obrige Codeblock ein IPython-Widget beinhaltet, kann es dazu kommen, dass der Graph nicht dargestellt werden kann. Für diesen Fall ist hier noch ein Bild des Graphen, wenn $a=0.5+0.5\epsilon$ gewählt wird:
gitterplot(Epsilon(0.5,0.5))
Potenzwege¶
Nun wollen wir betrachten, wie eine Folge der folgenden Form aussieht $$ (a_0,a_1,\dots,a_n), \quad a_{i+1} = b\cdot a_i, \quad a_0,b \in H $$
@interact(n=40, b_re=0.9, b_ep=0.9, a0_re=1, a0_ep=0)
def pathplot(n=40, b_re=0.9, b_ep=0.9, a0_re=1, a0_ep=0):
b = Epsilon(b_re,b_ep)
a0= Epsilon(a0_re,a0_ep)
a = [b**i * a0 for i in range(n)]
fig, ax = plt.subplots()
print("a0 = "+str(a0))
print("b = "+str(b))
print("n = "+str(n))
ax.plot([p.re for p in a], [p.ep for p in a])
plt.grid(True)
plt.show()
Wie vorher schon, ist der obrige Codeblock ein IPython-Widget und wenn er nicht interactiv in Jupyter Notebook ausgeführt wird, zeigt er keinen Grapher an. Daher ist hier eine Sammlung interessanter Wege:
pathplot(100, 0.9,0.9, 1,0)
pathplot(20, 1,1, 1,0)
pathplot(10, 2,1, 1,1)
